Die Formeln der Prozentrechnung
- Prozentuale Veränderung = (neuer Wert − Ausgangswert) ÷ Ausgangswert × 100. Positiv ist eine Steigerung, negativ eine Senkung.
- Faktor = neuer Wert ÷ Ausgangswert = 1 + Prozentsatz ÷ 100. Plus 25 % ist × 1,25, minus 12 % ist × 0,88.
- Wert nach Steigerung oder Senkung = Ausgangswert × (1 + Prozentsatz ÷ 100).
- Ausgangswert = Endwert ÷ (1 + Prozentsatz ÷ 100).
- Gegenprozentsatz (zurück zum Ausgangswert) = (Ausgangswert ÷ neuer Wert − 1) × 100.
Es ist dieselbe Formel, die das Statistische Bundesamt für den Verbraucherpreisindex verwendet: Veränderung in Prozent = (neuer Indexstand ÷ alter Indexstand) × 100 − 100.
Ein Beispiel aus der amtlichen Statistik
In seinen Erläuterungen zum Verbraucherpreisindex (Basis 2020 = 100) rechnet Destatis mit den Indexständen 102,9 für Juni 2021 und 113,2 für Dezember 2022: (113,2 ÷ 102,9) × 100 − 100 = 10,0 %. Geben Sie 102,9 und 113,2 in den Rechner ein, um dasselbe Ergebnis zu erhalten. Der Gegenprozentsatz beträgt −9,10 %: Ein Preis, der der Inflation gefolgt ist, müsste um gut 9 % sinken, nicht um 10 %, um wieder auf dem Stand von Juni 2021 zu liegen.
Mit demselben Faktor passt Destatis einen Geldbetrag an die Preisentwicklung an: 250 € aus dem Juni 2021 entsprechen im Dezember 2022 250 € × 113,2 ÷ 102,9 = 275,02 €. Nach diesem Prinzip funktionieren Wertsicherungsklauseln und Indexmieten. Im Modus „einen Prozentsatz aufschlagen“ erhalten Sie mit 250 und 10,01 % fast denselben Betrag; genau wird es mit dem Faktor aus den beiden Indexständen.
Die häufigsten Fehler
Durch den falschen Wert teilen. Eine prozentuale Veränderung bezieht sich immer auf den Ausgangswert. Von 80 auf 100 sind es plus 25 %, von 100 auf 80 minus 20 %. Die Differenz ist dieselbe (20), die Basis nicht.
Aufeinanderfolgende Prozentsätze addieren. Zwei Erhöhungen um 10 % ergeben 21 %, nicht 20 %: 1,10 × 1,10 = 1,21. Über mehrere Jahre multiplizieren Sie die Faktoren.
Prozent und Prozentpunkte verwechseln. Steigt ein Satz von 4,0 % auf 4,5 %, sind das 0,5 Prozentpunkte, relativ aber 12,5 %.
Im Unternehmen verfolgen Sie mit dieser Rechnung das Umsatzwachstum von Jahr zu Jahr, bemessen eine Preiserhöhung, bevor Sie sie ankündigen, und messen die Wirkung einer Aktion auf den Absatz. Bei einem Rabatt prüfen Sie mit dem Rabattrechner zusätzlich, was er Sie an Marge kostet.
Häufige Fragen
Wie berechnet man eine prozentuale Steigerung?
Teilen Sie die Veränderung durch den Ausgangswert und multiplizieren Sie mit 100: (neuer Wert − alter Wert) ÷ alter Wert × 100. Ein Preis, der von 80 € auf 100 € steigt, legt um 20 ÷ 80 × 100 = 25 % zu. Ist das Ergebnis negativ, handelt es sich um eine Senkung.
Wie rechne ich einen Prozentsatz auf einen Betrag auf?
Multiplizieren Sie den Betrag mit 1 + Prozentsatz ÷ 100. Eine Erhöhung um 5 % auf 200 € ergibt 200 × 1,05 = 210 €. Bei einer Senkung ist der Faktor 1 − Prozentsatz ÷ 100: 12 % weniger auf 250 € ergibt 250 × 0,88 = 220 €.
Wie finde ich den Ausgangswert vor einer Erhöhung?
Teilen Sie den Endwert durch den Faktor, statt den Prozentsatz abzuziehen. Ein Preis von 120 € nach einer Erhöhung um 20 % lag vorher bei 120 € ÷ 1,20 = 100 €. 20 % von 120 € abzuziehen ergäbe 96 € und wäre falsch.
Warum heben sich plus 20 % und minus 20 % nicht auf?
Weil sich die Senkung auf eine größere Basis bezieht. 100 € plus 20 % ergeben 120 €, und 120 € minus 20 % ergeben 96 €. Um von 120 € wieder auf 100 € zu kommen, genügt eine Senkung um 16,67 %: Das ist der Gegenprozentsatz, den der Rechner anzeigt.
Was ist der Unterschied zwischen Prozent und Prozentpunkten?
Steigt ein Zinssatz von 4,0 % auf 4,5 %, wächst er um 0,5 Prozentpunkte, relativ aber um 12,5 % (0,5 ÷ 4,0). Beide Angaben stimmen, sie messen nur etwas anderes. In einem Bericht oder einer Präsentation sollten Sie sagen, welche Sie meinen.